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推广的分部积分公式

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by Z.H. Fu
https://fuzihaofzh.github.io/blog/

在数分中，我们学习了分部积分公式，而在处理多元微积分问题的时候，我们需要用到它的推广形式。下面先给出公式，随后给出该公式的证明，以及一个特殊情形。最后给出直观的一个解释。

∫Ωf∇⋅AdΩ+∫ΩA⋅∇fdΩ=∫SfAdS\int_\Omega f\nabla \cdot \boldsymbol{A} d\Omega+ \int_\Omega \boldsymbol{A} \cdot \nabla f d\Omega=\int_S f \boldsymbol{A}d\boldsymbol{S}

证明如下：

设在空间中，存在向量场B\boldsymbol{B}由高斯公式，有：

∫Ω∇⋅BdΩ=∫SBdS\int_\Omega \nabla\cdot\boldsymbol{B}d\Omega=\int_S \boldsymbol{B} d\boldsymbol{S}

令B=fA\boldsymbol{B}=f\boldsymbol{A},带入得：

∫Ω∇⋅fAdΩ=∫SfAdS\int_\Omega \nabla\cdot f\boldsymbol{A}d\Omega=\int_S f\boldsymbol{A} d\boldsymbol{S}

∫Ωf∇⋅AdΩ+∫SA⋅∇fdΩ=∫SfAdS\int_\Omega f \nabla\cdot \boldsymbol{A} d\Omega+\int_S \boldsymbol{A} \cdot\nabla f d \Omega=\int_S f\boldsymbol{A} d\boldsymbol{S}

特殊地，只考虑A\boldsymbol{A}的一个分量（设为g），原式变为：

∫Ωf∇gdΩ=∫SfgdS−∫Ωg∇fdΩ\int_\Omega f \nabla g d\Omega=\int_S fgd\boldsymbol{S}-\int_\Omega g\nabla f d\Omega

这个公式让我们看到，分部积分就是将被积函数的求导项和未求导项交换，然后用两个函数（都不求导）在表面上的积分去减它就行。回想起一元函数定积分分部积分公式，最前面写的是f(x)g(x)∣abf(x)g(x)\big|_a^b的形式，之所以这个地方要用f(b)g(b)−f(a)g(a)f(b)g(b)-f(a)g(a)，是因为“表面”只有两个点，且法向量方向相反。