变分法推导拉格朗日方程

by Z.H. Fu https://fuzihaofzh.github.io/blog/

拉格朗日方程式理论力学中非常重要的一个方程，它的出现标志着分析力学的诞生，比起传统的牛顿定律来用拉格朗日方程能求解更多的广义坐标系统，且拉格朗日方程能直接导出牛顿运动定律。除此之外，隐藏在这个方程背后的变分思想却更值得我们关注。本文描述了利用变分法推导拉格朗日方程的过程。

拉格朗日方程的出发点是：当一个系统是真实存在的情况下如下泛函$J$取极值亦即$\delta J=0$

$$J=\int_a^bF(x,y,y')dx$$

在后续的推导过程中，注意到：

1. 变分运算和微分运算差不多，$J$的变分

$$\delta J=\frac{\partial J}{\partial u_i}\delta u_i$$

2. 对$y$变分的时候，与$x$无关。

3. $\delta$和$d$可以直接交换顺序，即 $\delta dy=d\delta y$

4. $y$的变分满足关系

$$\begin{cases}\delta y(a)=0\\\delta y(b)=0\end{cases}$$

因此$J$的变分可表示为：

\begin{align} \delta J&=\int_a^b(F_y\delta y+F_{y'}\delta y')dx \\ &=\int_a^b F_y\delta y dx+\int_a^b F_{y'}\delta y' dx \\ &=\int_a^b F_y\delta y dx+\int_a^b F_{y'}\delta dy \\ &=\int_a^b F_y\delta y dx+ F_{y'}\delta y \big|_a^b - \int_a^b \delta y dF_{y'} \\ &=\int_a^b F_y\delta y dx - \int_a^b \delta y \frac{dF_{y'}}{dx}dx\\ &=\int_a^b (F_y-\frac{dF_{y'}}{dx})\delta y x\end{align}

由变分法基本引理可知，要想让$\delta J$恒为0，只能是括号里面的项为0即：

$$F_y-\frac{dF_{y'}}{dx}=0$$