求积求和交换顺序

by Z.H. Fu

这篇文章主要介绍求积和求和交换顺序的问题。我们知道求积符号和求和符号一般是不可以任意交换顺序的。但是有时候，对于先求和再求积的式子，处理起来非常麻烦（不是线性的，不像求和那样可以分开处理）因此我们希望得到一个式子使求和号在外面，求积号在里面。
先来看一个特殊的例子：

$$(\sum_{i=1}^la_i)\cdot(\sum_{j=1}^mb_j)\cdot(\sum_{k=1}^nc_k)=\sum_{i=1}^l\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n a_ib_jc_k$$

由上面可以看出，此式的精华在于每次在$a_i,b_j,c_k$中任取意项。下面我们给出一个通式：

\begin{align}\prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_{ij}&=(a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{1m})\cdot(a_{21}+a_{22}+\cdots+a_{2m})\cdots(a_{n1}+a_{n2}+\cdots+a_{nm}) \\ &=\sum_{j_1}^m\sum_{j_2}^m\cdots\sum_{j_n}^m a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \\ &=\sum_{j_1}^m\sum_{j_2}^m\cdots\sum_{j_n}^m \prod_{i=1}^n a_{ij_i} \\ &=\prod_{i=1}^n\times\sum_{j_i=1}^m\prod_{i=1}^na_{ij_i}\end{align}

写成这样的优点是原式虽然变得超级复杂了，但是却也变成线性的了。外面所有的线性算子都可以直接作用到里面的元素上了。同时那个叉乘是我自己发明的符号，为了简记而已，写论文慎用~