多项式定理

by Z.H. Fu https://fuzihaofzh.github.io/blog/

本文主要介绍多项式定理。在以前，我们学习过二项式定理，显然，多项式定理就是二项式定理的推广。
回忆二项式定理（Binomial theorem)：

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$$

其中，$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
同理，对于一个多项式$(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n$我们有：

$$(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n=\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n}\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}$$

其中$\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}$叫做多项式系数，且：

$$\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$$

当$n=2$时为二项式定理，陈景润与伍启期先后提出了证明。