推广的分部积分与格林恒等式

在高数中，我们学了格林公式（Threom）：

\iint_\Omega(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})=\oint_LPdx+Qdy

这个公式实际上是斯托克斯公式在二维的特殊形式。但除此之外，格林还有三个恒等式（Identity），在有限元中，这三个恒等式都有着非常重要的作用。

而分部积分作为微积分里面一个很基础的公式，能推倒出相当多的定理。本文就利用分部积分公式，推导格林的三个恒等式。这三个恒等式和格林公式没有任何关系。

1. 分部积分公式

首先，复习一下分部积分公式：

\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx

或者直接写成：

\int udv=uv-\int vdu

下面推导高维分部积分公式，对于每一个轴的方向，有：

\int_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_i}v_id\Omega=\int_\Gamma uv_i\nu_id\Gamma-\int_\Omega u \frac{\partial v_i}{\partial x_i}d\Omega

其中， $\nu$ 是边界 $\Gamma$ 的单位外法线，而 $\nu_i$ 是外法线的第 $i$ 个分量。将这些分量加起来，并写成散度的形式，有：

\int_\Omega \nabla u \cdot \mathbf{v}d\Omega=\int_\Gamma u(\mathbf{v}\cdot \nu)d\Gamma-\int_\Omega u \nabla \cdot \mathbf{v} d\Omega

我们来稍微理解一下这个公式，以前我们的分布积分公式是两个标量场，这个公式是标量场、向量场混合的分部积分公式。它成功地将nabla算子 $\nabla$ 转移到了对方（正用、反用即可）写成如下形式更能直观表现这一性质：

$\int_\Omega \nabla u \cdot \mathbf{v}d\Omega=\int_\Gamma u\mathbf{v}\cdot d\mathbf{\Gamma}-\int_\Omega u \nabla \cdot \mathbf{v} d\Omega$

以下通过推广的分布积分公式推导散度定理。我们令 $u=1$ 有：

\int_\Gamma \mathbf{v}\cdot d\mathbf{\Gamma}=\int_\Omega \nabla \cdot \mathbf{v} d\Omega

下面根据推广的广义分部积分公式推导格林第一恒等式。把 $\mathbf{v}$ 写成一个一个标量场的散度的形式 $\mathbf{v}=\nabla v$ ，有：

\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla vd\Omega=\int_\Gamma u\nabla v\cdot d\mathbf{\Gamma}-\int_\Omega u \nabla^2 v d\Omega

下面根据格林第一恒等式，推导格林第二恒等式。交换格林第一恒等式中的 $u,v$ 有：

\int_\Omega \nabla v \cdot \nabla ud\Omega=\int_\Gamma v\nabla u\cdot d\mathbf{\Gamma}-\int_\Omega v \nabla^2 u d\Omega

和格林第一恒等式相减有：

\int_\Omega u \nabla^2 v -v \nabla^2 ud\Omega=\int_\Gamma u\nabla v-v\nabla u\cdot d\mathbf{\Gamma}

这个公式在推导面元法得出偶极子和源的时候会用到。

这个恒等式是关于格林函数的。格林函数构成了拉普拉斯方程的基础解，该公式使用的比较少，有兴趣可以去网上看看。