偏微分方程变分问题与原问题等价性的探讨

By Z.H. Fu https://fuzihaofzh.github.io/blog/

在用有限元方法求解偏微分方程的过程中，首先需要将微分方程写成它的弱形式（变分问题），然后通过求解变分问题，来得出原问题的解。本文旨在以椭圆偏微分方程为例，探讨其变分形式与原问题的等价性。

原始问题

用有限元法求解偏微分方程：

$$\frac{\partial}{\partial x}\beta\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\beta\frac{\partial u}{\partial y}=-f$$

计算域为$\Omega$，在边界上满足以下边界条件：

$$\begin{cases} u&=g_0,\quad on \Gamma_D \\ \partial_n u&=g_1 ,\quad on\Gamma_N \end{cases}$$

其中，$\Gamma$是计算域的边界，$n$是边界外法线，而$\Gamma_D$和$\Gamma_N$分别叫做Dirichlet边界和Neumann边界，在这上面的边界条件分别称作做Dirichlet边界条件和Neumann边界条件。

能量方程

下面给出其“能量方程”，也就是对应的泛函$J$，（后面将证明变分$\delta J=0$的解和原问题等价 ）。至于这个方程怎么来的，我见过的所有将变分原理的都是直接给的，而我认为可以通过偏微分方程的形式，来拼凑，有兴趣的可以试一试。

$$J(u)=\iint_\Omega(\frac{1}{2}(\beta(\frac{\partial u}{\partial x})^2+\beta(\frac{\partial u}{\partial y})^2)-fu)dxdy$$

变分法的思想认为，$J(u)$取极值的时候，就是原始问题的解，，$J(u)$取极值等价于说它的变分等于零，下面写出$\delta J=0$：

$$\delta J(u)=\iint_\Omega(\beta\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial \delta u}{\partial x}+\beta\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial \delta u}{\partial y}-f\delta u)dxdy$$

用格林恒等式得：

$$\delta J(u)=-\iint_\Omega(\frac{\partial }{\partial x}\beta\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\beta\frac{\partial u}{\partial y}+f)\delta udxdy+\int_{\Gamma_N}\beta \frac{\partial u}{\partial \nu}\delta uds+\int_{\Gamma_D}\beta \frac{\partial u}{\partial \nu}\delta uds$$

而在边界$\Gamma_D$上，有$\delta u=0$，因此

$$\delta J(u)=-\iint_\Omega(\frac{\partial }{\partial x}\beta\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\beta\frac{\partial u}{\partial y}+f)\delta udxdy+\int_{\Gamma_N}\beta \frac{\partial u}{\partial \nu}\delta uds$$

要让$\delta J(u)$对所有$\delta u$恒等于0，只有积分号中$\delta u$的系数恒等于零即：

$$\begin{cases} \frac{\partial }{\partial x}\beta\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\beta\frac{\partial u}{\partial y}&=-f\quad \text{in }\Omega \\ \beta \frac{\partial u}{\partial \nu}&=0\quad \text{on }\Gamma_N \end{cases}$$

可见，使用变分问题，自动包含了诺依曼边界条件。（因此它被称作自然边界条件），而Dirichlet边界条件没有包含在内，需单独列出。也被称作实质边界条件（Essential Boundary Condition）。

总结

将问题总结一下，微分方程的解的问题

$$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial x}\beta\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\beta\frac{\partial u}{\partial y}&=-f,\quad \text{on } \Omega \\ u&=g_0,\quad \text{on }\ \Gamma_D \\ \partial_n u&=g_1 ,\quad \text{on }\ \Gamma_N \end{cases}$$

与求泛函极值问题：

$$\begin{cases} J(u)&=\iint_\Omega(\frac{1}{2}(\beta(\frac{\partial u}{\partial x})^2+\beta(\frac{\partial u}{\partial y})^2)-fu)dxdy,\quad \text{get optimal value on } \Omega\\ u&=g_0,\quad \text{on } \Gamma_D \end{cases}$$

等价。