首先给出Bernstein多项式：
$$b_{\nu,n}(x)=\binom{n}{\nu}x\nu(1-x){n-\nu},\nu=0,…,n.$$
其中是二项式系数。
我们再来回顾一下Bernstein多项式产生的历史。Bernstein多项式曾经被用来证明威尔斯特拉斯逼近定理（Weierstrass approximation theorem）。这个定理的大概意思是说：在区间上所有的连续函数都可以用多项式来逼近。而且收敛性很强，是一致收敛。也就是说，可以将函数写成若干个Bernstein多项式相加的形式，而且，随着，该多项式将一致收敛到原函数！用表达式表示如下：
$$B_n(f)(x)=\sum^n_{\nu=0}f(\frac{\nu}{n})b_{\nu,n}(x)$$
其中,当时，该多项式收敛到原函数：
$$\lim_{n\rightarrow \infty}B_n(f)(x)=f(x)$$
好，我们发现这个跟傅里叶展开一模一样，所不同的是这里用的是多项式函数，Bernstein多项式在这里充当着基函数的角色。我们自然想到，能不能舍掉一些“高频分量”得到函数的大概形状？答案是显然的。我们选取若干个点，用这几个函数值来构造Bernstein多项式，得出的多项式就是一种“滤波”后的函数。
以下引出Bézier曲线。我们现在单纯地从基于分量的关系来看，我们有：
$$B_n(x)=\sum^n_{\nu=0}\beta_\nu b_{\nu,n}(x)$$
其中是基函数的系数。将取成一些点，我们有：
$$\mathbf{B_n(x)}=\sum^n_{\nu=0}\mathbf{P_\nu} b_{\nu,n}(x),x\in[0,1]$$
是我们给的点的坐标，而当从0到1扫过时，我们就得到了一条曲线，这就是Bézier曲线。一个直观的图形如下：
参考文献：
Bernstein polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial
Bézier curve