By Z.H. Fu
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今天重新研究了下拉普拉斯变换，很多资料只是给出了其公式，并没有给出其来历，特别是那个$s$的出现显得非常莫名其妙。本文旨在给出拉普拉斯变换的一个直观上的理解，对严谨性不做保证。
我们在研究很多数学问题的时候，特别是一些复杂的问题的时候，无法直接入手，而是将问题分解到许多维度上去，在这些简单的维度去进行处理，因此我们有了泰勒展开，有了幂级数、傅里叶级数，我们将傅里叶技级数再往连续域上推广，又有了傅里叶变换。而拉普拉斯变换，可以从幂级数的概念中推广出来，下面给出其推广过程。
一个函数可以用幂级数的形式表出：
$$A(x)=\sum_{i=1}^\infty a_ix^i$$
我们可以看出，构造一个函数$A(x)$的过程，我们输入了一个序列$\{a_1,a_2,\cdots\}$，输出了一个函数$A(x)$，（这个地方的$x$是输出的函数的自变量，和拉普拉斯变换的定义还稍有不同，我们一会来解决这个问题），其实这个序列可以看成是一个特殊的函数，即自变量只取整数的函数，那么我们将其推广为一般函数会有什么效果？将离散自变量$i$用连续自变量$t$代替，求和推广为积分，我们有：
$$A(x)=\int_0^{+\infty} f(t)x^tdt$$
而在微积分中，我们常常引入自然指数来方便运算，有：
$$\begin{aligned}A(x)&=\int_0^{+\infty} f(t)x^tdt\\
&=\int_0^{+\infty} f(t)(e^{\ln x})^tdt
\end{aligned}$$
在这里，我们需要对$x$做一些限定，因为幂级数存在收敛半径的，对于一般的自然界中存在的实际函数（如信号）是不能发散到正无穷的，因此该函数有上界，因而，对于$x\lt 1$的幂级数一定收敛（可以用$\sqrt[n]{a_n}$那个半径判据），即幂级数收敛半径为1，而由于为了避免负的幂带来的困扰，我们要求$x\gt 0$。由于$0\lt x \lt 1$，而$\ln x \in (-\infty,0)$。也就是说，这样我们得到的变换的函数对其自变量的范围有所限制，为$x \in (0,1)$，这当然很不好看，因此我们做一个代换，令
$$-s=\ln x$$
将$A(x)$用$F(x)$代替，因此原始变为
$$F(x)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\quad s \in(0,+\infty)$$
这正是拉普拉斯变换！
注意了，这里，我们变换后的函数本来是$F(x),x\in(0,1)$，但是，这种形式很难看，在操作时也很麻烦，因此我们做了变量代换，得到了变换后的函数$F(s),s\in(0,+\infty)$两个其实是一回事。将拉普拉斯变换用符号$\mathcal{L}$表示，记作：
$$\mathcal{L}(f(t))=F(s)$$
参考文献：
[1] 微分方程公开课.Massachusetts Institute of Technology.Arthur Mattuck