By Z.H. Fu
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黎曼-zeta函数有着许多奇妙的应用,很难想象,一个由简单的级数之和竟能和$\pi$产生关系,而且还能表示为全体质数的一个函数。本文简单地给出了一些巧妙的应用、证明以及直观的理解。
## Basel问题
历史上,求平方倒数的和的极限问题曾引起了众多数学爱好者的兴趣,而这一问题最终由大数学家欧拉以其非凡的数学直觉给出了解答。该问题的题目是求无穷级数的和:
$$S=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$$
欧拉首先给出了一个不太严谨,但非常巧妙的证明,在这个证明中,他将有限多项式的观察推广到了无穷级数(该过程在当时并未得到证明,该证明由维尔斯特拉斯在100年后给出)。
欧拉观察到
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$
两边同除$x$,得
$$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$$
而函数$\frac{\sin x}{x}= 0$的根为$x = n\pi, n = \pm1, \pm2, \pm3, \dots$,我们把这个函数表示成类似于多项式因式分解的形式有
$$\begin{align}
\frac{\sin x}{x} & =
\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \\
& = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.
\end{align}$$
我们观察这个积展开后的$x^2$项,为
$$-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$
而注意到最开始泰勒展开把$x$除到左边之后,右边的$x^2$项的系数为$-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}$,所以有
$$-\frac{1}{6}=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
惊奇地发现,平方倒数之和竟然和$\pi$有关系,我们再将这个问题推广一下。
## 黎曼-zeta函数
由上面的分析可知,无穷级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛到一个与$\pi$相关的常数$\frac{\pi^2}{6}$。我们自然会想到是否能将这个平方推广到全体整数/实数?黎曼-zeta函数正是该极限的一个推广。我们令黎曼-zeta函数为
ζ(s)=n=1∑∞ns1
其中,s是自变量,当s=2时,则为刚才研究的Basel问题。这个函数有一个神奇的性质,就是它的值与质数会产生一些的联系,我们先给出结论
ζ(s)=n=1∑∞ns1=p∏1−p−s1
其中,p取遍所有质数。下面给出其证明,该证明亦是由欧拉给出
ζ(s)=1+2s1+3s1+4s1+5s1+⋯
两边同乘以2s1得
2s1ζ(s)=2s1+4s1+6s1+8s1+10s1+⋯
两式作差得
(1−2s1)ζ(s)=1+3s1+5s1+7s1+9s1+11s1+13s1+⋯
这样,右边的2s1倍数的项便全部被消掉,我们用同样的方法,可以消掉3s1的倍数项,5s1的倍数项,7s1的倍数项,11s1的倍数项……而左边则会相应地乘上(1−2s1),(1−3s1),(1−5s1),(1−7s1),(1−11s1)……最后我们得到
(1−2s1)(1−3s1)(1−5s1)(1−7s1)(1−11s1)⋯ζ(s)=1
综上
ζ(s)=p∏1−p−s1
直观理解
在有了黎曼-zeta函数的乘积式定义后,这里给出一个直观的概率理解。我们断言,随机两个正整数a,b,我们来算他们两互质的概率。
互质,就是没有公因数,那么,该命题等价的命题为:a,b不关于2同余(即amod2=bmod2),且a,b不关于3同余,且a,b不关于5同余,且a,b不关于7同余,且a,b不关于11同余……而a,b不关于p同余即为a,b模p不同时等于0,其概率为1−p21,因此,我们得到a,b互质的概率为
$$\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2}$$
参考文献
[1]http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
[2]http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
[3]http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_the_Euler_product_formula_for_the_Riemann_zeta_function
[4]http://www.zhihu.com/question/23376401
[5]http://numberphile.com/
[6]http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi's_series