By Z.H. Fu
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## 简介
Ising Model（伊辛模型）最早用于磁性材料的研究，而后来在社会学中也取得了重要的应用，Ising Model可衍生出投票模拟和种族隔离模型（诺贝尔奖得主Thomas C. Schelling）。Ising Model对磁性物质极性建模模型如下：
## 模型
假设一个系统有两种状态A、B，在每种状态下有对应的能量$E_A,E_B$，而每种状态出现的概率与能量相关为：
$$p_A=\frac{1}{Z}e^{-E_A/T}$$
$$p_B=\frac{1}{Z}e^{-E_B/T}$$
$$Z=e^{-E_A/T}+e^{-E_B/T}$$
其中T是温度，Z是归一化项，可见能量越高的状态，概率越小；能量越低的状态，概率越大，而一个系统的能量跟这个系统里的所有粒子状态有关，假设每个粒子$S_i$只能有两种状态$\{+1,-1\}$，所有的粒子分布在网格的格点上，相邻粒子有相互作用，那么Ising Model定义能量为：
$$E=-J\sum_{i,j}S_iS_j-H\sum_iS_i$$
## 模型含义
我们来看这个式子。
首先，在概率模型中，温度T是一个平滑项项，温度越高，则所有的能量都差不多（指数那坨除了一个很大的数，趋于0)，概率分布倾向于均匀分布，当温度等于0时，能量最小那个系统状态概率为1。H表示外在磁场，在投票模型中表示政府的指导意见，和H相同的状态能量低，与H相反的状态能量高，$J$表示两个相连的粒子的同向状态，同向，则能量$-J$，反向则能量$+J$。
在物理学中，需要遵从能量守恒，因此，两个粒子间的联系一定是相互的，即如果$i$连接了$j$，那么$j$一定连接$i$，因为如果不是这样的话，假设$i$连接$j$，$j$不连接$i$，$i$和$j$同向，那么反转$i$，能量将增大，由于$j$不连接$i$，再反转$j$，能量不变，之后再反转$i$，能量再增大，如此循环，能把能量搞成永动机。而在社会学中，这点不必要存在，例如a喜欢b，但b可以不喜欢a。
Thomas C. Schelling提出了Schelling Model用于对种族隔离的建模，每个粒子是个人，而他的种族就是其状态，一个种族的人多了，其他人种族的人会搬走。
参考文献
[1] 2011. Statistical Physics for Humanities: A Tutorial. Dietrich Stauffer