如何理解拉格朗日方程

By Z.H. Fu https://fuzihaofzh.github.io/blog/ 拉格朗日方程是理论力学中非常重要的一个方程，它和牛顿力学一样，都是一种对力学系统的描述。但与牛顿力学不同的是，他以整个系统的视角来分析系统的运动状态，而牛顿力学则是对每一个质点进行单独的分析。两种方法等效、且可相互推导，但使用场景则大不相同。本文旨在通过牛顿力学来导出拉格朗日方程。

拉格朗日方程导出

我们研究物体在保守系统中的运动情况。所谓保守系统，是指物体所受的力都是保守力。而保守力则是指物体在该力的作用下做功的大小与路径无关。
我们首先给出牛顿第二定律：

$$ma=F$$

以下的步骤皆是通过对牛顿第二定律的变形，来得出拉格朗日方程。我们先补充一个动量$p$、速度$v$和动能$T$的等式。我们有

$$\frac{\partial T}{\partial v}=\frac{\partial (\frac{1}{2}mv^2)}{\partial v}=mv=p$$

可以看出动能关于速度的导数是动量。而

$$\frac{dp}{dt}=\frac{mdv}{dt}=ma$$

我们把速度$v$记作$\dot{x}$，有：

$$ma=m\ddot{x}_i=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}$$

同时，我们来看势能$U$与力$F$的关系：

$$F=-\frac{\partial U}{\partial x}$$

带入牛顿第二定律有：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}+\frac{\partial U}{\partial x}=0$$

我们观察到，$T$与$x$无关，而$U$与$\dot{x}$无关，因此我们令$L=T-U$，带入得：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

这个$L$叫做拉格朗日函数（Lagrangian）。拉格朗日方程有两个很重要的特点。

拉格朗日方程的特点

第一个特点就是对各种广义坐标都是成立的，换而言之，这里的位移$x$、速度$\dot{x}$换成其他的广义位移$r$、广义速度$\dot{r}$，这个方程仍然成立！
第二个特点就是，哈密顿原理中的那个作用量（$S=\int_{t_1}^{t_2}L(q(t), q'(t), t)dt$），恰好是拉格朗日函数的积分，而且让作用量变分等于0（$\delta S=0$），也能导出拉格朗日方程。

参考文献

[1] Shapiro J A. Classical Mechanics[J]. 2003.