三门问题与贝叶斯公式

By Z.H. Fu https://fuzihaofzh.github.io/blog/ ## 三门问题三门问题是一个很出名也受到了很多争议的问题，这个问题出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？

关于这个问题有两个思路，看起来都很有道理，然而却得出了截然不同的结论，我们先来看一下两种解法。

主持人排除了一个门之后，还剩两个门，随便选哪个都是 $\frac{1}{2}$ ；
选手选择的那扇门的概率是 $\frac{1}{3}$ ，而主持人手上的门打开后，那 $\frac{1}{3}$ 的概率就跑到另一个门上了，所以另一个门的概率是 $\frac{2}{3}$ 。

这两个思路看着都有道理，可是为什么会出现两个截然不同的答案呢？其实，问题出在题目里面，题目并没有说主持人是任意选择了一个门，还是只选择空门。玩了一个语言上的trick，把一个很重要的隐含假设一语带过，大家各自采用了自认为显然的隐含假设，便导致了两种不同的结果。我们先介绍一下贝叶斯公式，再用贝叶斯公式理解下这两种思路。

贝叶斯公式

贝叶斯公式是关于条件概率的公式，假设我们有两个事件 $A$ 和 $B$ ，我们可以根据 $A$ 在 $B$ 下发生概率去求得 $B$ 在 $A$ 下发生的概率。其公式表述为：

P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}

其中 $\overline{A}$ 表示 $A$ 不发生的概率。

三门问题的贝叶斯表述

假设我们的选手选择了盒子 $A$ 。如果主持人是随机选了一个盒子 $B$ ， $P(A)$ 表示 $A$ 有东西的概率， $P(\overline{A})$ 表示 $A$ 没有东西的概率，选手面临的问题用贝叶斯公式描述为：

P( A|\overline{B})=\frac{P(\overline{B}|A)P(A)}{P(\overline{B}|A)P(A) + P(\overline{B}|\overline{A})P(\overline{A})}

即在 $B$ 没东西的条件下， $A$ 有东西的概率。我们来看不同的解释下的差异：

主持人随意选择一个门
在这种情况下我们有:
$P(A)=\frac{1}{3}$ ；
$P(\overline{B}|A)=1$ (若 $A$ 有东西，那么 $B$ 一定没有东西)；
$P(\overline{A})=\frac{2}{3}$ ；
$P(\overline{B}|\overline{A})=\frac{1}{2}$ (若 $A$ 没有东西，那么 $B$ 没有东西的概率为二选一)。
带入到上面的公式得

P( A|\overline{B})=\frac{1\times\frac{1}{3}}{1\times\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}

可见，如果主持人只是随便选了一个门的话，那么剩下的两个门概率是一样的，因为主持人并未引入额外的信息。我们再来看第二种情况。
2. 主持人选择一个没有东西的门
$P(A)=\frac{1}{3}$ （和上面相同）；
$P(\overline{B}|A)=1$ (和上面相同)；
$P(\overline{A})=\frac{2}{3}$ (和上面相同)；
$P(\overline{B}|\overline{A})=1$ (主持人一定会选一个没有东西的门！)。
带入到上面的公式得

P( A|\overline{B})=\frac{1\times\frac{1}{3}}{1\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}

可见，如果主持人知道哪个门没有东西，这时候选手手上的门里有东西的概率只有 $\frac{1}{3}$ ，为了增大或升级率，他一定要换一个门。

拓展

另一个类似的题也是这样的：一对夫妇先后生了两个孩子，其中一个孩子是女孩，问另一个孩子是女孩的概率有多大？
令
$A$ :女孩个数
$B$ :其中一个是女孩
我们可以选算出 $A$ 的分布为：

P(A=0)=\frac{1}{4};P(A=1)=\frac{1}{2};P(A=2)=\frac{1}{4}

下面来计算 $A$ 在 $B$ 下的条件分布，由于对“其中一个孩子是女孩”这句话理解不同，分两种情况来理解。

如果 $B$ 是任意选一个孩子是女孩，那么：

P(B|A=0)=0;P(B|A=1)=\frac{1}{2};P(B|A=2)=1

从而，另一个是女孩的概率等于女孩个数为2的概率，其分布为：

P(A=2|B)=\frac{P(B|A=2)P(A=2)}{P(B|A=0)P(A=0)+P(B|A=1)P(A=1)+P(B|A=2)P(A=2)}

= \frac{1\times\frac{1}{4}}{0\times\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{4}}

= \frac{1}{2}

如果 $B$ 是至少有一个孩子是女孩，那么：

P(B|A=0)=0;P(B|A=1)=1;P(B|A=2)=1

从而，另一个是女孩的概率等于女孩个数为2的概率，其分布为：

P(A=2|B)=\frac{P(B|A=2)P(A=2)}{P(B|A=0)P(A=0)+P(B|A=1)P(A=1)+P(B|A=2)P(A=2)}

= \frac{1\times\frac{1}{4}}{0\times\frac{1}{4}+1\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{4}}

= \frac{1}{3}

综上，如果是随机选一个孩子是女孩的话，另一个孩子为女孩的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如果是至少有一个女孩的话，另一个孩子为女孩的概率为 $\frac{1}{3}$ 。

总结

这类问题的关键就在于大家对题目中的某句话持有不同的理解。更巧妙的是，这两种解法的下游（如何计算概率）更能引起大家的讨论，大家争论的地方是在这个理解的下游，所以题目却是用了一个很trick的手段，玩了一个文字游戏。