在曲面积分中,有向面元 。
那么这个结论的几何意义如何理解?
如图,法向量在方向上的投影越长,就说明通过平面的向量越多。也就是说和有某种对应关系。这个关系就是
变分法推导拉格朗日方程
拉格朗日方程式理论力学中非常重要的一个方程,它的出现标志着分析力学的诞生,比起传统的牛顿定律来用拉格朗日方程能求解更多的广义坐标系统,且拉格朗日方程能直接导出牛顿运动定律。除此之外,隐藏在这个方程背后的变分思想却更值得我们关注。本文描述了利用变分法推导拉格朗日方程的过程。
拉格朗日方程的出发点是:当一个系统是真实存在的情况下如下泛函J取极值亦即δJ=0
J=∫abF(x,y,y′)dx
在后续的推导过程中,注意到:
- 变分运算和微分运算差不多,J的变分
δJ=∂ui∂Jδui
-
对y变分的时候,与x无关。
-
δ和d可以直接交换顺序,即 δdy=dδy
-
y的变分满足关系
{δy(a)=0δy(b)=0
因此J的变分可表示为:
\begin{align} \delta J&=\int_a^b(F_y\delta y+F_{y'}\delta y')dx \\ &=\int_a^b F_y\delta y dx+\int_a^b F_{y'}\delta y' dx \\ &=\int_a^b F_y\delta y dx+\int_a^b F_{y'}\delta dy \\ &=\int_a^b F_y\delta y dx+ F_{y'}\delta y \big|_a^b - \int_a^b \delta y dF_{y'} \\ &=\int_a^b F_y\delta y dx - \int_a^b \delta y \frac{dF_{y'}}{dx}dx\\ &=\int_a^b (F_y-\frac{dF_{y'}}{dx})\delta y x\end{align}
由变分法基本引理可知,要想让δJ恒为0,只能是括号里面的项为0即:
Fy−dxdFy′=0
推广的分部积分公式
在数分中,我们学习了分部积分公式,而在处理多元微积分问题的时候,我们需要用到它的推广形式。下面先给出公式,随后给出该公式的证明,以及一个特殊情形。最后给出直观的一个解释。
∫Ωf∇⋅AdΩ+∫ΩA⋅∇fdΩ=∫SfAdS
证明如下:
设在空间中,存在向量场B由高斯公式,有:
∫Ω∇⋅BdΩ=∫SBdS
令B=fA,带入得:
∫Ω∇⋅fAdΩ=∫SfAdS
∫Ωf∇⋅AdΩ+∫SA⋅∇fdΩ=∫SfAdS
特殊地,只考虑A的一个分量(设为g),原式变为:
∫Ωf∇gdΩ=∫SfgdS−∫Ωg∇fdΩ
这个公式让我们看到,分部积分就是将被积函数的求导项和未求导项交换,然后用两个函数(都不求导)在表面上的积分去减它就行。回想起一元函数定积分分部积分公式,最前面写的是f(x)g(x)∣∣∣ab的形式,之所以这个地方要用f(b)g(b)−f(a)g(a),是因为“表面”只有两个点,且法向量方向相反。
历史兴衰的原因
天下大事,分久必合,合久必分。这是《三国演义》的开篇之语,更是恰当地概括了中国古代历史形式。总的来看,中国分分合合,而整个民族亦在这种分与合生生不息。那么中国为什么有分分合合?
结论是:一个政权之建立,必有一种与之相应的光明的思想为其支柱。如果这个思想暗淡了,政权的寿命亦必不可久,而分裂之势亦不能避免。
先来看看战国时期,也就是那个人才辈出百花齐放的年代。诸子百家,交相辉映,来向世人解释着我们这个世界。西方人解决了人和物的关系,印度人解决了人和神的关系,而中国人解决了人和人的关系。而诸子百家解释的这个人与人的关系,却稍有不同。要之如下:
直观的数学:度量张量简介
这篇文章主要介绍度量张量的起源及它的基本应用。张量是19世纪以来比较伟大的数学发明之一,它的发明伴随着微分几何的提出,为在流形上进行各种运算提供了可能。在这里主要讲解度量张量。首先我们来看一看我们需要解决一个什么问题,然后针对这个问题提出一种新的解决思路,最后讲解度量张量的使用。
一、问题提出
在物理学中,经常使用到内积运算,比如求一个力所做的功,我们有:
W=F⋅S
这个公式很简单,计算的时候将F和S的各个分量乘起来再相加即等于内积。但是如果F和S定义在其他坐标系(如非正交的坐标系)下,那么直接用各个分量乘起来再相加得出的功就会有所不同!而根据我们的常识,功应该和坐标系的选择无关,也就是说,两个向量的内积是与坐标无关的,我们可以猜想点乘或许在某种情况下不等于内积。那么我们就需要引入一种对内积的新的认识。本文即将讨论如何用点乘在所有坐标系下表示出内积,这种表示中就用到了度量张量。
二、解决思路
为了解决这个问题,我们先引入几个基本概念,首先是爱因斯坦求和约定,其次是克罗内克符号,最后是逆变坐标和协变坐标。
2.1爱因斯坦求和约定
我们定义:
$$a_i b_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\cdot b_i$$
$$a_{ij} b_j=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot b_j$$
你好 Hexo
终于,在biz.nf上的免费空间挂掉了。作为一个程序员,终于决定将博客搬到github上。等配置完成我会将这个过程记录下来。
在此测试一下效果:
这是一句引用
测试一下LATEX:
∫Ω∇fdω=0
code:
1 | for i in 10: |