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由于MathJax默认没有开启单个美元符号的inline模式，需要手动打开，代码如下：

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在用有限元方法求解偏微分方程的过程中，首先需要将微分方程写成它的弱形式（变分问题），然后通过求解变分问题，来得出原问题的解。本文旨在以椭圆偏微分方程为例，探讨其变分形式与原问题的等价性。

原始问题

用有限元法求解偏微分方程：

$$\frac{\partial}{\partial x}\beta\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\beta\frac{\partial u}{\partial y}=-f$$

计算域为$\Omega$，在边界上满足以下边界条件：

$$\begin{cases} u&=g_0,\quad on \Gamma_D \\ \partial_n u&=g_1 ,\quad on\Gamma_N \end{cases}$$

其中，$\Gamma$是计算域的边界，$n$是边界外法线，而$\Gamma_D$和$\Gamma_N$分别叫做Dirichlet边界和Neumann边界，在这上面的边界条件分别称作做Dirichlet边界条件和Neumann边界条件。

能量方程

下面给出其“能量方程”，也就是对应的泛函$J$，（后面将证明变分$\delta J=0$的解和原问题等价 ）。至于这个方程怎么来的，我见过的所有将变分原理的都是直接给的，而我认为可以通过偏微分方程的形式，来拼凑，有兴趣的可以试一试。

$$J(u)=\iint_\Omega(\frac{1}{2}(\beta(\frac{\partial u}{\partial x})^2+\beta(\frac{\partial u}{\partial y})^2)-fu)dxdy$$

变分法的思想认为，$J(u)$取极值的时候，就是原始问题的解，，$J(u)$取极值等价于说它的变分等于零，下面写出$\delta J=0$：

$$\delta J(u)=\iint_\Omega(\beta\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial \delta u}{\partial x}+\beta\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial \delta u}{\partial y}-f\delta u)dxdy$$

可以看到，黄球最先滑下，其次是蓝柱，再次是红球，最后是绿柱。
各小球质量相等，直径相等，性质如下：

各个小球受重力相等，那么为什么会出现这种现象呢？
这就需要考虑惯性矩。我们知道质量是惯性的度量，表示一个物体受力之后的变化程度，惯性大的受影响小。而惯性矩则是描述物体受力矩作用后的反应，惯性矩大，则受力矩作用小。而惯性矩的定义为：

$$M=\int \rho \mathbf{r}^2dv$$

其中，$\mathbf{r}$是到主轴的向量。因此，可以看出，质量越集中到边上，则r越大，则惯性矩越大，同等力矩下（这时重力产生的力矩一样大）当然是惯性矩小的实心的物体最先滑下（黄球和蓝柱），随后再是空心的东西。而柱体可以看成是球体把里面的东西减少给放到外面去了，因此，惯性矩比球体大。因此才有这种运动顺序。

在高数中，我们学了格林公式（Threom）：

$$\iint_\Omega(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})=\oint_LPdx+Qdy$$

这个公式实际上是斯托克斯公式在二维的特殊形式。但除此之外，格林还有三个恒等式（Identity），在有限元中，这三个恒等式都有着非常重要的作用。

而分部积分作为微积分里面一个很基础的公式，能推倒出相当多的定理。本文就利用分部积分公式，推导格林的三个恒等式。这三个恒等式和格林公式没有任何关系。

1. 分部积分公式

首先，复习一下分部积分公式：

$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$$

或者直接写成：

$$\int udv=uv-\int vdu$$

2. 推广的分部积分公式（标量场、向量场混合分部积分公式）

多元函数微积分

还记得一元函数的泰勒展开么？公式如下：

$$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots ++\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)$$

在一元微积分中，导数表示的是在某一点对原函数的最佳线性近似，那么在多远微积分中，同理，多元函数中也有一个用于表示对原函数最佳逼近的东西，
多元函数$F:\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^m$,在$P$点的最佳线性逼近为：

$$F(\mathbf{x})=F(\mathbf{p})+J_F(\mathbf{x}-\mathbf{p})+o(\mathbf{x}-\mathbf{p})$$

其中，$J_F$就是雅克比矩阵（就是很多个偏导构成一个矩阵）定义如下：

$$J_F=\begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial F_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_2}{\partial x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \frac{\partial F_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$$

Python的matplotlib真心是个好用的东西，除了画一般的图形，他还支持$\LaTeX$，我们可以利用这个来做一点酷酷的东西。下面给出数学公式插图的Python代码，生成结果还是蛮酷的：

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from pylab import *
eqs = []
eqs.append((r"$W^{3\beta}_{\delta_1 \rho_1 \sigma_2} = U^{3\beta}_{\delta_1 \rho_1} + \frac{1}{8 \pi 2} \int^{\alpha_2}_{\alpha_2} d \alpha^\prime_2 \left[\frac{ U^{2\beta}_{\delta_1 \rho_1} - \alpha^\prime_2U^{1\beta}_{\rho_1 \sigma_2} }{U^{0\beta}_{\rho_1 \sigma_2}}\right]$"))
eqs.append((r"$\frac{d\rho}{d t} + \rho \vec{v}\cdot\nabla\vec{v} = -\nabla p + \mu\nabla^2 \vec{v} + \rho \vec{g}$"))
eqs.append((r"$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$"))
eqs.append((r"$F_G = G\frac{m_1m_2}{r^2}$"))
eqs.append((r"$F_y-\frac{dF_{y'}}{dx}=0$"))
eqs.append((r"$\delta J=\frac{\partial J}{\partial u_i}\delta u_i$"))
eqs.append((r"$\prod_{i=1}^n\times\sum_{j_i=1}^m\prod_{i=1}^na_{ij_i}$"))
eqs.append((r"$\int_\Omega f\nabla \cdot \mathbf{A} d\Omega$"))
eqs.append((r"$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$"))
eqs.append((r"$\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}$"))
figure(figsize=(20,10))
axes([0.025,0.025,0.95,0.95])

for i in range(20):
    index = np.random.randint(0,len(eqs))
    eq = eqs[index]
    size = np.random.uniform(20,43)
    x,y = np.random.uniform(0,1,2)
    alpha = np.random.uniform(0.05,.15)
    text(x, y, eq, ha='center', va='center', color="# 11557c", alpha=alpha,
         transform=gca().transAxes, fontsize=size, clip_on=True)
xticks([]), yticks([])
show()

效果如图：

Fortran是人类最古老的的一门高级语言，而它的优点就在于能进行大规模的科学计算。Fortran对许多基础的数学计算都有非常多大的加速（比如对一个数组通式求正弦），因而很多科学计算程序都是用Fortran实现。而并行计算无疑能在此基础之上给Fortran一个更大的提速。本文主要讲解如何使用Fortran实现并行计算。

编译器的选择

一般来说，Fortran的编译器都是选择Intel的 Visual Fortran和VS结合实现（如果是用的Intel的CPU的话，这个加速相当完美，这是其他编译器无法超越的）。然而，由于我是要拿他来和Python做混编，Intel的编译器老是有问题。无奈之下，采用GNU的GFortran编译器。

IDE配置

目前GFortran最流行的编译器是Code::Blocks（这不是以前搞竞赛的时候用的么。。）点开设置-编译器如下图：

本文主要介绍多项式定理。在以前，我们学习过二项式定理，显然，多项式定理就是二项式定理的推广。
回忆二项式定理（Binomial theorem)：

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$$

其中，$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
同理，对于一个多项式$(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n$我们有：

$$(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n=\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n}\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}$$

其中$\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}$叫做多项式系数，且：

$$\binom{n}{k_1,k_2,\cdots,k_m}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$$

当$n=2$时为二项式定理，陈景润与伍启期先后提出了证明。

用Python处理数据，用matplotlib来做数据显示，比matlab美观的多，而且图标上能直接插入$\LaTeX$。因而，采用matplotlib来显示数据是一种非常好的方式，但是，他的可配置的东西比较多，每次查起来都比较麻烦，故而编写了一个模板。其中中文的使用，参见《matplotlib中文加载方式》。效果及代码如下：

效果：

By Z.H. Fu